Pentingnya Manajemen Kontrol Keamanan pada Sistem

A. Pentingnya Kontrol

1. Untuk memastikan bahwa CBIS telah diimplementasikan seperti yang direncanakan, system beroperasi seperti yang dikehendaki, dan operasi tetap dalam keadaan aman dari penyalahgunaan atau gangguan.
2. Untuk memberi dukungan kepada manajer dalam mengontrol area operasinya

B. Tugas Kontrol CBIS

Mencakup semua fase siklus hidup, selama siklus hidup dibagi menjadi kontrol-kontrol yang berhubungan dengan pengembangan sistem, desain dan operasi

•  Metode Untuk Mendapatkan dan Memelihara Kontrol CBIS

1. Manajemen dapat melakukan kontrol langsung
2. Manajemen mengontrol CBIS secara tidak langsung dengan terus menerus melalui CIO.
3. Manajemen mengontrol CBIS secara tidak langsung berkenaan dengan proyeknya melalui pihak ketiga

AREA PENGONTROLAN CBIS

• Kontrol Proses Pengembangan

Untuk memastikan bahwa CBIS yg diimplementasikan dapat memenuhi kebutuhan pemakai atau berjalan sesuai rencana harus menjalani tahapan/fase yang antara lain :
* Fase Perencanaan
Mendefinisikan tujuan dan kendala
* Fase Analisis & Disain
> Mengidentifikasi kebutuhan informasi
> Menentukan kriteria penampilan
> Menyusun disain dan standar operasi CBIS
* Fase Implementasi
> Mendefinisikan program pengujian yang dapat diterima
> Memastikan apakah memenuhi criteria penampilan
> Menetapkan prosedur utk memelihara CBIS
* Fase Operasi & Kontrol
> Mengontrol CBIS selagi berevolusi selama fase SLC
> Memastikan bahwa CBIS yang diimplementasikan dapat memenuhi kebutuhan

Yang termasuk dalam kontrol proses pengembangan, yaitu :
1. Manajemen puncak menetapkan kontrol proyek secara keseluruhan selama fase perencanaan dengan cara membentuk komite MIS
2. Manajemen memberitahu pemakai mengenai orientasi CBIS
3. Manajemen menentukan kriteria penampilan yang digunakan dalam mengevaluasi operasi CBIS.
4. Manajemen dan bagian pelayanan informasi menyusun disain dan standar CBIS
5. Manajemen dan pelayanan informasi secara bersama-sama mendefinisikan program pengujian yang dapat diterima
6. Manajemen melakukan peninjauan sebelum instalasi yang dilakukan tepat setelah penggantian dan secara berkala meninjau CBIS untuk memastikan apakah ia memenuhi kriteria penampilan.
7. Bagian pelayanan informasi menetapkan prosedur untuk memelihara dan memodifikasi CBIS dan prosedur yang disetujui oleh manajemen.

•  Kontrol Disain Sistem

 Tujuan untuk memastikan bahwa disainnya bisa meminimalkan kesalahan, mendeteksi kesalahan dan mengoreksinya.
* Kontrol tidak boleh diterapkan jika biayanya lebih besar dari manfaatnya. Nilai atau manfaat adalah tingkat pengurangan resiko.
* Selama fase disain dan analisis dari siklus hidup system, Analis System, DBA dan Manajer Jaringan membangun fasilitas kontrol tertentu dalam disain system. Selama fase implementasi, programmer menggabungkan kontrol tersebut ke dalam system. Disain system dikontrol dengan cara menggabungkan kontrol software menjadi lima bagian pokok, yaitu :

I. Permulaan Transaksi (Transaction Origination)

* Tahap-tahap yang harus dilakukan pada permulaan transaksi :
1. Permulaan Dokumentasi Sumber
> Perancangan dokumentasi
> Pemerolehan dokumentasi
> Kepastian keamanan dokumen
2. Kewenangan
> Bagaimana entry data akan dibuat menjadi dokumen dan oleh siapa
3. Pembuatan Input Komputer
> Mengidentifikasi record input yang salah dan memastikan semua data input
diproses
4. Penanganan Kesalahan
> Mengoreksi kesalahan yang telah dideteksi dan menggabungkan record yg telah dikoreksi ke record entry
5. Penyimpanan Dokumen Sumber
> Menentukan bagaimana dokumen akan disimpan dan dalam kondisi
bagaimana dapat dikeluarkan

II. Entri Transaksi

* Entri transaksi mengubah data dokumen sumber menjadi bentuk yang dapat dibaca oleh komputer. Kontrol ini berusaha untuk menjaga keakuratan data yang akan ditransmisikan ke jaringan komunikasi atau yang akan dimasukkan secara langsung ke dalam komputer. Area kontrolnya meliputi atas :
1. Entri Data
> Kontrol dalam bentuk prosedur tertulis dan dalam bentuk peralatan inputnya sendiri. Dapat dilakukan dengan proses offline/online
2. Verifikasi Data
> Key Verification (Verifikasi Pemasukan)
Data dimasukkan ke sistem sebanyak 2 kali
> Sight Verification (Verifikasi Penglihatan)
Melihat pada layar sebelum memasukkan data ke system
3. Penanganan Kesalahan
> Merotasi record yang telah dideteksi ke permulaan transaksi untuk pengoreksian
4. Penyeimbangan Batch
> Mengakumulasikan total setiap batch untuk dibandingkan dengan total yang sama yang dibuat selama permulaan transaksi

III. Komunikasi Data

* Tanggungjawab manajer jaringan dengan menggabungkan ukuran keamanan ke dalam sistem dan memonitor penampilan untuk memastikan keamanan telah dilakukan dgn baik
* Komputer yang ada dalam jaringan memberikan peluang risiko keamanan yang lebih besar dari pada komputer yang ada di dalam suatu ruangan. Area kontrol ini terdiri dari :
1. Kontrol Pengiriman Data
2. Kontrol Channel Komunikasi
3. Kontrol Penerimaan Pesan
4. Rencana Pengamanan Datacom Secara Keseluruhan

IV. Pemrosesan Komputer

* Pada umumnya semua elemen kontrol pada disain system selalu dikaitkan dengan pemasukan data ke dalam komputer. Area kontrol pada pemrosesan komputer terdiri dari :
1. Penanganan Data
2. Penanganan Kesalahan
3. Database dan Perpustakaan Software
* Sebagian besar kontrol database dapat diperoleh melalui penggunaan Sistem Manajemen Database (Database Management System/DBMS)
* Tingkat keamanan dalam DBMS terdiri dari :
1. Kata kunci (Password)
2. Direktori pemakai (User Directory)
3. Direktori elemen data (Field Directory)
4. Enkripsi (Encryption)

V. Output Komputer

* Komponen subsistem ini bertanggung jawab untuk mengirimkan produk (output) kepada pemakai (user). Yang termasuk dalam area ini adalah :
1. Distribusi
> Kontrol pada distribusi laporan berusaha untuk memastikan ketepatan orang yang menerima output.
2. Penyeimbangan Departemen Pemakai
> Bila departemen pemakai menerima output dari komputer, maka keseluruhan kontrol dari output dibandingkan dengan total yang sama yang telah ditetapkan pada waktu pertama kali data input dibuat.
3. Penanganan Kesalahan
Kelompok kontrol tertentu dapat ditetapkan didalam area pemakai dengan menjalankan prosedur formal untuk mengoreksi kesalahan.
4. Penyimpangan Record
> Tujuan komponen kontrol yang terakhir ini adalah untuk memelihara keamanan yang tepat terhadap output komputer dan untuk mengontrol penyelesaian yang sia-sia.
5. Penyeimbangan Operasi Komputer
> Kontrol ini memungkinkan pelayanan informasi untuk memverifikasi bahwa semua batch dan transaksi yang diterima dari departemen pemakai telah diproses.

•  Kontrol Terhadap Pengoperasian Sistem

Kontrol pengoperasian sistem dimaksudkan untuk mencapai efisiensi dan keamanan.
Kontrol yang memberikan kontribusi terhadap tujuan ini dapat diklasifikasikan menjadi 5 area :
1. Struktur organisasional
> Staf pelayanan informasi diorganisir menurut bidang spesialisasi. Analisis, Programmer, dan Personel operasi biasanya dipisahkan dan hanya mengembangkan ketrampilan yang diperlukan untuk area pekerjaannya sendiri.
2. Kontrol perpustakaan
> Perpustakaan komputer adalah sama dengan perpustakaan buku, dimana didalamnya ada pustakawan, pengumpulan media, area tempat penyimpanan media dan prosedur untuk menggunakan media tersebut. Yang boleh mengakses perpustakaan media hanyalah pustakawannya.
3. Pemeliharaan Peralatan
> Orang yang tugasnya memperbaiki computer yang disebut Customer Engineer (CE) / Field Engineer (FE) / Teknisi Lapangan menjalankan pemeliharaan yang terjadwal / yang tak terjadwal.
4. Kontrol lingkungan dan keamanan fasilitas
> Untuk menjaga investasi dibutuhkan kondisi lingkungan yang khusus seperti ruang computer harus bersih keamanan fasilitas yang harus dilakukan dengan penguncian ruang peralatan dan komputer.
5. Perencanaan disaster
* Rencana Keadaan darurat
> Prioritas utamanya adalah keselamatan tenaga kerja perusahaan
* Rencana Backup
> Menjelaskan bagaimana perusahaan dapat melanjutkan operasinya dari ketika terjadi bencana sampai ia kembali beroperasi secara normal.
* Rencana Record Penting
> Rencana ini mengidentifikasi file data penting & menentukan tempat penyimpanan kopi duplikat.
* Rencana Recovery
> Rencana ini mengidentifikasi sumber-sumber peralatan pengganti, fasilitas komunikasi dan pasokan-pasokan

WBS (Work Breakdown Structure)

WBS adalah suatu metode pengorganisaian proyek menjadi struktur pelaporan hierarakis. WBS digunakan untuk melakukan Breakdown atau memecahkan tiap proses pekerjaan menjadi lebih detail.hal ini dimaksudkan agar proses perencanaan proyek memiliki tingkat yang lebih baik.

Pada prinsipnya Work Breakdown Structure (WBS) adalah pemecahan atau pembagian pekerjaan ke dalam bagian yang lebih kecil (sub-kegiatan), alasan perlunya WBS adalah :

1. Pengembangan WBS di awal Project Life Cycle memungkinkan diperolehnya pengertian cakupan proyek dengan jelas, dan proses pengembangan WBS ini membantu semua anggota untuk lebih mengerti tentang proyek selama tahap awal.
2. WBS membantu dalam pengawasan dan peramalan biaya, jadwal, dan informasi mengenai produktifitas yang meyakinkan anggota manajemen proyek sebagai dasar untuk membuat perundingan.

WBS merupakan elemen penting, karena memberikan kerangka yang membantu, antara lain dalam :
1. Penggambaran program sebagai ringkasan dari bagian-bagian yang kecil.
2. Pembuatan perencanaan
3. Pembuatan network dan perencanaan pengawasan.
4. Pembagian tanggung jawab.
5. Penggunaan WBS ini memungkinkan bagian-bagian proyek terdefinisi dengan jelas.

manfaat utama WBS dalam proses perencanaan dan pengendalian proyek :

1. Analisa WBS yang melibatkan manajer fungsional dan personel yang lain dapat membantu meningkatkan akurasi dan kelangkapan pendefinisian proyek.
2. Menjadi dasar anggaran dan penjadwalan.
3. Menjadi alat control pelaksanaan proyek, karena panyyimpanan biaya dan jadwal paket kerja tertentu dapat dibandingkan dengan WBS.

Decision Support Systems (DSS)

sistem berbasis komputer yang interaktif, yang membantu pengambil keputusan memanfaatkan data dan model untuk menyelesaikan masalah-masalah yang tak terstruktur.

DSS mendayagunakan resources individu-individu secara intelek dengan kemampuan komputer untuk meningkatkan kualitas keputusan. jadi ini merupakan sistem pendukung yang berbasis komputer untuk manajemen pengambilan keputusan yang berhubungan dengan masalah-masalah yang semi terstruktur .

Istilah DSS kadang digunakan untuk menggambarkan sembarang sistem yang terkomputerisasi.

DSS digunakan untuk definisi yang lebih sempit, dan digunakan istilah MSS sebagai payung untuk menggambarkan berbagai tipe sistem pendukung.

Mengapa menggunakan DSS:
1. perusahaan beroperasi pada  ekonomi yang tak stabil
2. Perusahaan dihadapkan pada kompetisi dalam dan luar negri yang meningkat
3. Perusahaan mengalami peningkatan kesulitan dalam hal melacak jumlah operasi-operasi bisnis.
4. Sistem komputer perusahaan tidak mendukung peningkatan tujuan perusahaan dalam hal efisiensi, profitabilitas, dan mencari jalan masuk dipasar yang benar-benar menguntungkan.

6 alasan mengapa perusahaan-perusahaanutama memulai DSS dalam skala besar:
1. Kebutuhan akan informasi yang akurat
2. DSS dipandang sebagai pemenang dalam organisasi
3. Kebutuhan akan informasi baru
4. manajemen diamanahi DSS
5. Penyediaan informasi yang tepat waktu
6. Pencapaiaan pengurangan biaya
Alasan lain dalam pengenbagan DSS adalah perubahan perilaku komputasi end-user. End-user bukanlah programer, sehingga mereka membutuhkan tool dan prosedur yang mudah untuk digunakan . dan ini dipenuhi DSS.

Sistem Penunjang Keputusan1

Keputusan

• Keputusan adalah tindakan pilihan di antara beberapa alternatif untuk mencapai suatu tujuan .

• Teori keputusan adalah sebuah area kajian matematika diskrit yang memodelkan pengambilan keputusan oleh manusia dalam sains, rekayasa, dan semua aktifitas sosial manusia.
• Fase-fase pengambilan keputusan
• Fase inteligensi
  • Inteligensi dalam pengambilan keputusan meliputi pemindaian ( scanning ) lingkungan. Inteligensi mencakup berbagai aktifitas yang menekankan identifikasi situasi atau peluang-peluang masalah.
  • Fase inteligensi dimulai dengan identifikasi terhadap tujuan dan sasaran organisasional yang berkaitan dengan isu yang terkait dan menentukan apakah tujuan tersebut telah terpenuhi.
  • Pada fase pertama ini, seseorang berusaha menentukan apakah ada suatu masalah, mengidentifikasi gejala-gejalanya, menentukan keluasannya, dan mendefinisikannya secara eksplisit.
• Fase desain
  • Fase desain meliputi penemuan atau mengembangkan dan menganalisis tindakan yang mungkin untuk dilakukan.
  • Sebuah model masalah pengambilan keputusan dibangun, dites, dan divalidasi.
  • Pemodelan meliputi konseptualisasi masalah dan mengabstraksikan masalah ke dalam bentuk kuantitatif dan atau kualitatif.
• Fase pilihan
  • Fase pilihan adalah fase di mana dibuat suatu keputusan yang nyata dan diambil suatu komitmen untuk mengikuti tindakan tertentu.
  • Fase pilihan meliputi pencarian, evaluasi, dan rekomendasi terhadap suatu solusi yang tepat untuk model.
• Fase implementasi
  • Fase implementasi meliputi membuat suatu solusi yang direkomendasikan bisa bekerja. 
• Mengapa sistem pendukung keputusan terkomputerisasi dibutuhkan ?
  • Kecepatan komputasi
  • Peningkatan / perbaikan komunikasi
  • Peningkatan produktivitas
  • Dukungan teknis
  • Akses data warehouse
  • Dukungan kualitas
  • Berdaya saing
  • Mengatasi keterbatasan kognitif dalam pengolahan dan penyimpanan. 
• Karakteristik dan kemampuan sistem pendukung keputusan.
  • Dukungan untuk mengambil keputusan, terutama pada situasi semi terstruktur dan tak terstruktur, dengan menyertakan penilaian manusia dan informasi terkomputerisasi.
  • Dukungan untuk semua level manajerial, dari eksekutif puncak samapai manajer lini.
  • Dukungan untuk individu dan kelompok. Masalah yang kurang terstruktur sering memerlukan keterlibatan individu dari departemen dan tingkat organisasional yang berbeda atau bahkan dari organisasi lain.
  • Dukungan untuk keputusan independen dan sekuensial. Keputusan dapat dibuat satu kali, beberapa kali, atau berulang dalam interval yang sama. 
• Dukungan di semua fase pengambilan keputusan, yaitu : fase inteligensi, desain, pilihan, dan implementasi.
  • Dukungan di berbagai proses dan gaya pengambilan keputusan.
  • Adaptif sepanjang waktu.
  • Ramah pengguna.
  • Peningkatan terhadap efektifitas pengambilan keputusan (akurasi, ketepatan waktu, kualitas) daripada efisiensi (biaya pengambilan keputusan).
  • Kendali penuh oleh pengambil keputusan terhadap semua langkah proses pengambilan keputusan dalam memecahkan suatu masalah.
  • Pengguna akhir dapat mengembangkan dan memodifikasi sendiri sistem sederhana 
• Penggunaan model-model untuk menganalisis situasi pengambilan keputusan.
  • Akses disediakan untuk berbagai sumber data, format, dan tipe.
  • Dapat digunakan sebagai alat standalone yang digunakan oleh seorang pengambil keputusan pada satu lokasi atau didistribusikan di satu organisasi keseluruhan dan di beberapa organisasi s e panjang rantai persediaan. Dapat diintegrasikan dengan sistem pendukung keputusan lain atau aplikasi lain, dan dapat didistribusikan secara internal dan eksternal dengan menggunakan teknologi jaringan dan web. 
• Komponen-komponen sistem pendukung keputusan.
  • Subsistem manajemen data
  • Subsistem manajemen model
  • Subsistem antarmuka pengguna
  • Subsistem manajemen berbasis pengetahuan 
• Subsistem manajemen data
  • Subsistem manajemen data memasukkan satu database yang berisi data yang relevan untuk situasi dan dikelola oleh perangkat lunak yang disebut DBMS .
  • Subsistem manajemen data dapat diinterkoneksikan dengan data warehouse perusahaan, suatu repositori untuk data perusahaan yang relevan untuk mengambil keputusan. 
• Elemen-elemen subsistem manajemen data
  • Database.
  • DBMS.
  • Direktory data.
  • Fasilitas query. 
• Subsistem manajemen model
  • Subsistem manajemen model merupakan paket perangkat lunak yang memasukkan berbagai macam model, di antaranya adalah model keuangan, statistik, ilmu manajemen, atau model kuantitatif lainnya yang memberikan kemampuan analitik dan manajemen perangkat lunak yang tepat.
• Elemen-elemen subsistem manajemen model
  • Basis model
  • Sistem manajemen basis model
  • Bahasa pemodelan
  • Direktori model
  • Eksekusi model, integrasi, dan prosesor perintah 
• Subsistem antarmuka pengguna
  • Subsistem antarmuka pengguna memungkinkan pengguna berkomunikasi dan memerintahkan sistem pendukung keputusan.
  • Browser web memberikan struktur antarmuka pengguna grafis yang familier dan konsisten. 
• Subsistem manajemen berbasis pengetahuan
  • Subsistem ini dapat mendukung semua subsistem lain atau bertindak sebagai komponen independen.
  • Subsistem ini memberikan inteligensi untuk memperbesar pengetahuan pengambil keputusan.
  • Subsistem ini dapat diiterkoneksikan dengan repositori pengetahuan perusahaan yang disebut basis pengetahuan organisasional.

Definisi Sistem Penunjang Keputusan

Little (1970) mendefiniskan sistem pendukung keputusan sebagai sebuah himpunan/kumpulan prosedur berbasis model untuk memproses data dan pertimbangan untuk membantu manajemen dalam pembuatan keputusannya.

Alter (1990) membuat definisi sistem pendukung keputusan dengan memabandingkannya dengan sebuah sistem pemrosesan data elektronik (PDE) / Electronic Data Processing tradisional dalam 5 hal :

SPK
Penggunaan :Aktif
Pengguna :Manajemen
Tujuan :Efektifitas
Time horizon :Sekarang dan masa depan
Kelebihan : Fleksibilitas

PDE
Penggunaan : Pasif
Pengguna : Operator/Pegawai
Tujuan : Efisiensi Mekanis
Time horizon :Masa Lalu
Kelebihan :Konsistensi

Keen (1980) , sistem pendukung keputusan adalah sistem berbasis komputer yang dibangun lewat sebuah proses adaptif dari pembelajaran, pola-pola penggunan dan evolusi sistem.

Bonczek (1980) mendefinisikan sistem pendukung keputusan sebagai sebuah sistem berbasis komputer yang terdiri atas komponen-komponen antara lain komponen sistem bahasa (language), komponen sistem pengetahuan (knowledge) dan komponen sistem pemrosesan masalah (problem processing) yang saling berinteraksi satu dengan yang lainnya.

Hick (1993) menyebutkan sistem pendukung keputusan sebagai sekumpulan tools komputer yang terintegrasi yang mengijinkan seorang decision maker untuk berinteraksi langsung dengan komputer untuk menciptakan informasi yang berguna dalam membuat keputusan semi terstruktur dan keputusan tak terstruktur yang tidak terantisipasi.

Dari beberapa definisi di atas dapat kita ambil beberapa ciri/karakteristik umum dari sebuah sistem pendukung keputusan yang membantu kita dalam membuat sebuah definisi mengenai Sistem Pendukung Keputusan (SPK) yang ideal yaitu :
a) SPK adalah sebuah sistem berbasis komputer dengan antarmuka antara mesin/komputer dan pengguna.
b) SPK ditujukan untuk membantu pembuat keputusan dalam menyelesaikan suatu masalah dalam berbagai level manajemen dan bukan untuk mengganti posisi manusia sebagai pembuat keputusan .
c) SPK mampu memberi alternatif solusi bagi masalah semi/tidak terstruktur baik bagi perseorangan atau kelompok dan dalam berbagai macam proses dan gaya pengambilan keputusan.
d) SPK menggunakan data, basis data dan analisa model-model keputusan.
e) SPK bersifat adaptif, efektif, interaktif ,easy to use dan fleksibel
f) SPK menyediakan akses terhadap berbagai macam format dan tipe sumber data (data source).

Bahasa Pemrograman

Bahasa pemrograman, atau sering diistilahkan juga dengan bahasa komputer, adalah teknik komando/instruksi standar untuk memerintah komputer. Bahasa pemrograman ini merupakan suatu himpunan dari aturan sintaks dan semantik yang dipakai untuk mendefinisikan program komputer. Bahasa ini memungkinkan seorang programmer dapat menentukan secara persis data mana yang akan diolah oleh komputer, bagaimana data ini akan disimpan/diteruskan, dan jenis langkah apa secara persis yang akan diambil dalam berbagai situasi.

Menurut tingkat kedekatannya dengan mesin komputer, bahasa pemrograman terdiri dari:

1. Bahasa Mesin, yaitu memberikan perintah kepada komputer dengan memakai kode bahasa biner, contohnya 01100101100110
2. Bahasa Tingkat Rendah, atau dikenal dengan istilah bahasa rakitan (bah.Inggris Assembly), yaitu memberikan perintah kepada komputer dengan memakai kode-kode singkat (kode mnemonic), contohnya MOV, SUB, CMP, JMP, JGE, JL, LOOP, dsb.
3. Bahasa Tingkat Menengah, yaitu bahasa komputer yang memakai campuran instruksi dalam kata-kata bahasa manusia (lihat contoh Bahasa Tingkat Tinggi di bawah) dan instruksi yang bersifat simbolik, contohnya {, }, ?, <<, >>, &&, ||, dsb.
4. Bahasa Tingkat Tinggi, yaitu bahasa komputer yang memakai instruksi berasal dari unsur kata-kata bahasa manusia, contohnya begin, end, if, for, while, and, or, dsb.

Sebagian besar bahasa pemrograman digolongkan sebagai Bahasa Tingkat Tinggi, hanya bahasa C yang digolongkan sebagai Bahasa Tingkat Menengah dan Assembly yang merupakan Bahasa Tingkat Rendah.

Berikut ini adalah daftar bahasa pemrograman komputer:

• ABC
• Ada
• ALGOL
• Applescript
• Assembly
• BASIC:
  • ASP
  • BASIC
  • COMAL
  • Visual Basic
  • Visual Basic for Applications
  • VBScript
• Batch (MS-DOS)
• COBOL
• UNIX shell script:
  • Bourne shell (sh) script
  • Bourne-Again shell (bash) script
  • Korn shell (ksh) script
  • C shell (csh) script
• C:
  • C++
  • C#
  • Visual C++
• ColdFusion
• dBase dkk.:
  • Clipper
  • Foxbase
  • Visual FoxPro
• Eiffel
• Fortran
• Go
• Haskell
• Java
  • JavaScript
  • JSP
• Lisp
• Logo
• Pascal
  • Delphi
• Perl
• Prolog
• Python
• PHP
• Pike
• R
• REXX
• REBOL
• RPG
• Ruby
• Simula
• Smalltalk
• Scheme
• SQL

Namun Bahasa pemrograman yang banyak digunakan adalah:

1. Bahasa Pemrograman HTML
HyperText Markup Language (HTML) adalah sebuah bahasa markup yang digunakan untuk membuat sebuah halaman web dan menampilkan berbagai informasi di dalam sebuah browser Internet.
HTML saat ini merupakan standar Internet yang didefinisikan dan dikendalikan penggunaannya oleh World Wide Web Consortium (W3C).
HTML berupa kode-kode tag yang menginstruksikan browser untuk menghasilkan tampilan sesuai dengan yang diinginkan.
Sebuah file yang merupakan file HTML dapat dibuka dengan menggunakan browser web seperti Mozilla Firefox atau Microsoft Internet Explorer.

2. Bahasa Pemrograman PHP
PHP adalah bahasa pemrograman script yang paling banyak dipakai saat ini.
PHP pertama kali dibuat oleh Rasmus Lerdorf pada tahun 1995. Pada waktu itu PHP masih bernama FI (Form Interpreted), yang wujudnya berupa sekumpulan script yang digunakan untuk mengolah data form dari web.
PHP banyak dipakai untuk membuat situs web yang dinamis, walaupun tidak tertutup kemungkinan digunakan untuk pemakaian lain.
PHP biasanya berjalan pada sistem operasi linux (PHP juga bisa dijalankan dengan hosting windows).

3. Bahasa Pemrograman ASP
ASP adalah singkatan dari Active Server Pages yang merupakan salah satu bahasa pemograman web untuk menciptakan halaman web yang dinamis.
ASP merupakan salah satu produk teknologi yang disediakan oleh Microsoft.
ASP bekerja pada web server dan merupakan server side scripting.

4. Bahasa Pemrograman XML
Extensible Markup Language (XML) adalah bahasa markup serbaguna yang direkomendasikan W3C untuk mendeskripsikan berbagai macam data.
XML menggunakan markup tags seperti halnya HTML namun penggunaannya tidak terbatas pada tampilan halaman web saja.
XML merupakan suatu metode dalam membuat penanda/markup pada sebuah dokumen.

5. Bahasa Pemrograman WML
WML adalah kepanjangan dari Wireless Markup Language, yaitu bahasa pemrograman yang digunakan dalam aplikasi berbasis XML (eXtensible Markup Langauge).
WML ini adalah bahasa pemrograman yang digunakan dalam aplikasi wireless.
WML merupakan analogi dari HTML yang berjalan pada protocol nirkabel.

6. Bahasa Pemrograman PERL
Perl adalah bahasa pemrograman untuk mesin dengan sistem operasi Unix (SunOS, Linux, BSD, HP-UX), juga tersedia untuk sistem operasi seperti DOS, Windows, PowerPC, BeOS, VMS, EBCDIC, dan PocketPC.
PERL merupakan bahasa pemograman yang mirip bahasa pemograman C.

7. Bahasa Pemrograman CFM
Cfm dibuat menggunakan tag ColdFusion dengan software Adobe ColdFusion / BlueDragon / Coldfusion Studio.
Syntax coldfusion berbasis html.

8. Bahasa Pemrograman Javascript
Javascript adalah bahasa scripting yang handal yang berjalan pada sisi client.
JavaScript merupakan sebuah bahasa scripting yang dikembangkan oleh Netscape.
Untuk menjalankan script yang ditulis dengan JavaScript kita membutuhkan JavaScript-enabled browser yaitu browser yang mampu menjalankan JavaScript.

9. Bahasa Pemrograman CSS
Cascading Style Sheets (CSS) adalah suatu bahasa stylesheet yang digunakan untuk mengatur tampilan suatu dokumen yang ditulis dalam bahasa markup.
Penggunaan yang paling umum dari CSS adalah untuk memformat halaman web yang ditulis dengan HTML dan XHTML.
Walaupun demikian, bahasanya sendiri dapat dipergunakan untuk semua jenis dokumen XML termasuk SVG dan XUL.
Spesifikasi CSS diatur oleh World Wide Web Consortium (W3C).

Sistem operasi Windows

Sistem operasi adalah sebuah sistem yang diperlukan untuk dapat menjalankan semua aplikasi program / software yang ada di komputer kamu, misalnya MS-OFFICE. macam- macam SO yaitu: Windows, UNIX/LINUX, DOS, OS/2. Tapi kali ini kita akan membahas satu sistem operasi saja yaitu sistem operasi Windows.

Sistem Operasi “Windows” dibuat oleh perusahaan Microsoft yang terletak di Amerika dan dipimpin oleh Bill Gates. Mengapa Sistem Operasinya dinamakan “Windows” ?. Mungkin karena yang pertama tampil di layar monitor ketika komputer dihidupkan adalah gambar seperti jendela-jendela kecil. Nah, sistem operasi windows ini mengalami beberapa perubahan-perubahan dan perbaikan.

Sistem operasi Windows telah berevolusi dari MS-DOS, sebuah sistem operasi yang berbasis modus teks dan command-line. Windows versi pertama, Windows Graphic Environment 1.0 pertama kali diperkenalkan pada 10 November 1983, tetapi baru keluar pasar pada bulan November tahun 1985 yang dibuat untuk memenuhi kebutuhan komputer dengan tampilan bergambar. Windows 1.0 merupakan perangkat lunak 16-bit tambahan (bukan merupakan sistem operasi) yang berjalan di atas MS-DOS (dan beberapa varian dari MS-DOS), sehingga ia tidak akan dapat berjalan tanpa adanya sistem operasi DOS. Versi 2.x, versi 3.x juga sama. Beberapa versi terakhir dari Windows (dimulai dari versi 4.0 dan Windows NT 3.1) merupakan sistem operasi mandiri yang tidak lagi bergantung kepada sistem operasi MS-DOS. Microsoft Windows kemudian bisa berkembang dan dapat menguasai penggunaan sistem operasi hingga mencapai 90%.

Dimulai dari DosShell for DOS 6 buatan Microsoft dan inginnya Microsoft bersaing terhadap larisnya penjualan Apple Macintosh yang menggunakan GUI, Microsoft menciptakan Windows 1.0. Nama ini berasal dari kelatahan karyawan Microsoft yang menyebut nama aplikasi tersebut sebagai Program Windows (Jendela Program). Windows versi 2 adalah versi Windows pertama yang bisa diinstal program. Satu-satunya program yang bisa ditambahkan adalah Microsoft Word versi 1. Windows versi 3 menjanjikan aplikasi tambahan yang lebih banyak, kelengkapan penggunaan, kecantikan user interface atau antarmuka dan mudahnya konfigurasi. Windows versi 3.1 adalah versi Windows yang bisa mengoptimalisasi penggunaannya pada prosesor 32-bit Intel 80386 ke atas. Windows versi 3.11 adalah versi Windows terahkir sebelum era Start Menu. Windows 3.11 pun adalah versi Windows pertama yang mendukung networking/jaringan. Versi Hibrida dapat dijalankan tanpa MS-DOS. Versi Hibrida tersebut menginstalasi dirinya sendiri dengan DOS 7. Tidak seperti Windows versi 16-bit yang merupakan shell yang harus diinstalasi melalui DOS terlebih dahulu. Aplikasinya pun berbeda. Meskipun Windows 9X dapat menjalankan aplikasi Windows 16-bit, namun Windows 9X memiliki grade aplikasi sendiri – X86-32, Windows 9X sangat terkenal dengan BSOD (Blue Screen of Death).

Versi-versi Windows

Sudah dirilis* 16-bit, berjalan di atas MS-DOS
1985 November – Windows 1.0
1987 9 Desember – Windows 2.0
1990 22 Mei – Windows 3.0
1992 Agustus – Windows 3.1
1992 Oktober – Windows for Workgroups 3.1
1993 November – Windows for Workgroups 3.11

* Hibrida (16-bit/32-bit), berjalan tanpa MS-DOS (meski tidak sepenuhnya)
1995 24 Agustus – Windows 95 (Versi: 4.00.950)
1998 25 Juni – Windows 98 (Versi: 4.1.1998)
1999 5 Mei – Windows 98 Second Edition (Versi: 4.1.2222)

2000 19 Juni – Windows Millennium Edition (Me) (Versi: 4.9.3000)

* Berbasis kernel Windows NT
1993 Agustus – Windows NT 3.1
1994 September – Windows NT 3.5
1995 Juni – Windows NT 3.51
1996 29 Juli – Windows NT 4.0
2000 17 Februari – Windows 2000 (Versi: NT 5.0.2195)
2002 – Windows XP (Versi: NT 5.1.2600)
2003 – Windows Server 2003 (Versi: NT 5.2.3790)
2007 – Windows Vista (Versi 6.0 Build 6000)

Versi yang akan datang* 2007 – 2008 – Windows Server 2008 (versi 6.1)
* 2010 – 2012 – Windows “Vienna”.

Menghilangkan Bulu

Menghilangkan bulu kumis

* Setelah bulu dicukur sampe abis, oleskan campuran dari minyak tanah,kapur barus dan tawas dengan perbandingan 5:1:1. Oleskan rutin setelah bercukur.  Tawas dapat dibeli di toko kimia atau bahan roti.
* Madu dipanaskan sebentar lalu dioleskan  pada kulit yang berbulu, tunggu agak kering dikit lalu dilap pake kain flanel, bulu akan tercabut.
*  Campur air perasan jeruk nipis dengan gula pasir, sapu atau oleskan  di atas bibir, tunggu biar kering kira-kira setengah jam baru dicuci.  Lakukan rutin setiap hari.
*  Tumbuk halus kulit pohon mangga dan kencur lalu diperas dan diambil airnya.  Oleskan air parasan tadi ke bagian tubuh yang ditumbuhi bulu.  Lakukan rutin  selama 2 minggu sebelum tidur.

Menghilangkan Bulu Ketiak

*  Cabut bulu ketiak seluruhnya lalu gosok ketiak yang sudah bersih dari bulu dengan kunyit yang sudah dicelupkan dulu di air kapur sirih.
*  Tumbuk hancur 20 biji jintan putih dan sedikit kapur barus (3 butir ukuran kelereng),campur dengan air perasan jeruk nipis lalu sapukan pada ketiak yang sebelumnya telah dicukur.
*  Tumbuk hancur 20 merica dan 3 butir kapur barus, campur dengan minyak kelapa atau minyak tanah.  Sapukan di ketiak sebelum tidur, lama-lama bulu akan rontok dengan sendirinya.

MEngATASI LUkA BAKAR

Seringkali kita panik jika mengalami luka bakar baik yang relatif ringan atau cukup serius.  Beberapa tips di bawah ini semoga dapat membantu  meminimalkan luka atau setidaknya untuk pertolongan pertama sebelum dibawa ke dokter.

Dengan pucuk daun pisang

Bila tersengat knalpot motor atau setrika misalnya, cepat-cepat ambul pucuk daun pisang (jawa=pupus gedang).  Tempelkan daun pisang muda tersebut pada bagian yang terluka dan biarkan beberapa saat.  Ulangi dengan daun yang baru sampai rasa panas berkurang.

Dengan oli

Ambil minyak motor atau oli dan oleskan segera pada bagian yang terkena panas.  Niscaya rasa panas berkurang dan tidak melepuh.

Dengan pasta gigi atau kecap

Olesi bagian terluka dengan pasta gigi atau odol.  Kalau kejadiannya di dapur odol dapat diganti dengan kecap, oleskan pada bagian yang luka.

Dengan telur

Seputir telur ayam kampung dipisahkan antara kuning telur dan putihnya.  Oleskan putih telur tersebut pada luka yang terkena panas.  Tunggu sampai mengering kemudian olesi lagi secara terus menerus.  Jangan sampai terkena air hingga luka benar-benar mengering

WargaNeGara dan NeGara

 Warga Negara adalah orang yang terkait dengan sistem hukum Negara dan mendapat perlindungan Negara.

Negara adalah suatu daerah atau wilayah yang ada di permukaan bumi di mana terdapat pemerintahan yang mengatur ekonomi, politik, sosial, budaya, pertahanan keamanan, dan lain sebagainya. Di dalam suatu negara minimal terdapat unsur-unsur negara seperti rakyat, wilayah, pemerintah yang berdaulat serta pengakuan dari negara lain.

Kewarganegaraan Republik Indonesia diatur dalam UU no. 12 tahun 2006 tentang Kewarganegaraan Republik Indonesia. Menurut UU ini, orang yang menjadi Warga Negara Indonesia (WNI) adalah

1.setiap orang yang sebelum berlakunya UU tersebut telah menjadi WNI.

2.anak yang lahir dari perkawinan yang sah dari ayah dan ibu WNI.

3.anak yang lahir dari perkawinan yang sah dari seorang ayah WNI dan ibu warga negara asing (WNA), atau sebaliknya.

4.anak yang lahir dari perkawinan yang sah dari seorang ibu WNI dan ayah yang tidak memiliki kewarganegaraan atau hukum negara asal sang ayah tidak memberikan kewarganegaraan kepada anak tersebut.

5.anak yang lahir dalam tenggang waktu 300 hari setelah ayahnya meninggal dunia dari perkawinan yang sah, dan ayahnya itu seorang WNI.

6.anak yang lahir di luar perkawinan yang sah dari ibu WNI.

7.anak yang lahir di luar perkawinan yang sah dari ibu WNA yang diakui oleh seorang ayah WNI sebagai anaknya dan pengakuan itu dilakukan sebelum anak tersebut berusia 18 tahun atau belum kawin.

8.anak yang lahir di wilayah negara Republik Indonesia yang pada waktu lahir tidak jelas status kewarganegaraan ayah dan ibunya.

9.anak yang baru lahir yang ditemukan di wilayah megara Republik Indonesia selama ayah dan ibunya tidak diketahui.

10.anak yang lahir di wilayah negara Republik Indonesia apabila ayah dan ibunya tidak memiliki kewarganegaraan atau tidak diketahui keberadaannya.

11.anak yang dilahirkan di luar wilayah Republik Indonesia dari ayah dan ibu WNI, yang karena ketentuan dari negara tempat anak tersebut dilahirkan memberikan kewarganegaraan kepada anak yang bersangkutan.

12.anak dari seorang ayah atau ibu yang telah dikabulkan permohonan kewarganegaraannya, kemudian ayah atau ibunya meninggal dunia sebelum mengucapkan sumpah atau menyatakan janji setia.

InDiViDu ,KeLuaRGa ,MasyaRakat

Dalam suatu lingkungan terdapat suatu kelompok ,kelompok itu  terdiri dari masyarakat,keluarga,atau individu. 

Individu merupakan  bagian terkecil dalam suatu kelompok yang terdiri dari satu orang saja. Keluarga merupakan suatu kelompok individu yang saling berinteraksi satu sama lain dan memiliki hubungan darah. Selain itu keluarga merupakan tempat tiap individu untuk belajar proses sosialisasi sebelum turun ketengah tengah masyarakat

Masyarakat adalah suatu kelompok yang didalamnya terdapat suatu hubungan interaksi antar individu dengan individu,kelompok dengan kelompok, atau individu dengan kelompok yang menjadi satu serta memiliki tujuan bersama.

Ciri-ciri Masyarakat
- Kumpulan para orang-orang
- Adanya pemimpin tapi daerah kekuasaanya tidak luas

           Dalam hal ini masyarakat dibagi menjadi 2 yaitu masyarakat non industry dan masyarakat industry.

Masyarakat industry adalah sekelompok orang yang bekerja dalam suatu lingkup industry seperti kerja pabrik sebagai buruh.

Masyarakat non industry adalah sekelompok orang yang bekerja dalam suatu lingkup non industry seperti pegawai atau pengusaha.

Hal ini dapat menyebabkan juga dapat menyebabkan kesenjangan social bagi tiap tiap individu ,tapi bagaimanapun hal ini tergantung pada tiap individunya masing masing dalam menanggapinya.

Jadi antara individu ,keluarga dan masyarakat terdapat keterkaitan yang sangat erat karena semua awal proses sosialisasi dan pembalajaran individu berawal dari sebuah keluarga dan dipraktekkan di masyarakat.

Bilangan Kompleks (MatDas 1a)

Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i ² = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

Daftar Isi:
1. Definisi
2. Notasi
3. Bidang kompleks
4. Lihat pula

1. Definisi

1. 1. Notasi dan operasi

Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau . Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks: .

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i ² = −1:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i ² = (ac−bd) + (bc+ad)i

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat dibawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.

Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks, polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.

1. 2. Definisi

Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi sebagai berikut:

• 

• 

Dengan definisi diatas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.

Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.

Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.

Dalam C, berlaku sebagai berikut:

• identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)
• identitas perkalian ("satu"): (1, 0)
• invers penjumlahan (a,b): (−a, −b)
• invers perkalian (reciprocal) bukan nol (a, b):

2. Notasi

2. 1. Bentuk Penjumlahan

Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

2. 2. Bentuk Polar

Dengan menganggap bahwa:

dan

maka

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk juga sering ditulis sebagai .

2. 3. Bentuk Eksponen

Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:

3. Bidang kompleks

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.

Koordinat Cartesian bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkularnya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:

Kadang-kadang, notasi r cis φ dapat juga ditemui.

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:

dan

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam ( radian). Secara geometris, persamaan i² = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat ( radian).

Bilangan Bulat? Itu sudah biasa.. Kalau bilangan bulat dikembangkan lebih luas maka bilangan bulat itu masuk di himpunan bilangan rasional. Nah, bilangan rasional dan irasional itu termasuk dalam rumpun bilangan REAL. Lalu, gabungan antara himpunan REAL dan IMAJINER adalah himpunan BILANGAN KOMPLEKS.

Lingkaran yang paling besar itu menunjukkan himpunan bilangan kompleks, memperlihatkan betapa luasnya himpunan bilangan kompleks. Hmm.. Di post ini, kita akan mengenal bilangan kompleks. Tapi, hanya dasarnya saja. Untuk pengembangan lebih lanjut, akan kupost kapan2.. hahaha.. XD

=========================================================================

BAGIAN I
DEFINISI BILANGAN KOMPLEKS

Dari prakata di atas, kita tahu bahwa bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan Real dengan bilangan Imajiner.

Sekilas tentang bilangan imajiner.
Bilangan imajiner adalah bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif. Misalnya, , , , dan masih banyak lagi..
Lalu, di sini kita akan berurusan dengan bilangan . Kita definisikan bahwa = , maka:
Oleh karena itu, dapat kita tulis juga menjadi , maka dapat ditulis sebagai .

Banyak sekali orang yang keliru mengoperasikan bilangan imajiner.
Misalnya: = = = 5. (ini salah!!)
Seharusnya: = = 5. = (1).5 = 5
Untuk menghindari kesalahan, selalu konversikan bilangan imajiner ke dalam bentuk (ini dinamakan sebagai bentuk standar). ^^

Simbol mempunyai sifat = = 1. Untuk pangkat yang lebih tinggi, kita tinggal ngotak-ngatik. = = . Lalu, = = 1. Untuk seterusnya, silakan dicoba sendiri. ^^. Not difficult.

NOTASI
Bilangan kompleks (z) terdiri dari gabungan bilangan Real dan Imajiner. Oleh karena itu, dapat kita notasikan dengan hubungan penjumlahan.

z = x + y

Notasi di atas menunjukkan bahwa x adalah bagian REAL, sedangkan y adalah bagian imajiner murni. Bilangan x dan y, keduanya adalah bilangan REAL.

Himpunan bilangan kompleks digambarkan pada bidang kompleks, dan suatu bilangan kompleks digambarkan dengan sebuah titik pada bidang kompleks. (Lebih mudahnya, ini seperti menggambar titik pada koordinat x dan y, di mana x merupakan bagian REAL, sedangkan y adalah bagian IMAJINER.)

Langsung saja kita ke contoh pemahaman.. Daripada nanti kebingungan.. ^^

Contoh Soal 1:
Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan z1, z2, z3, dan z4.
z1 = 3 + 6.
z2 = -3+2.
z3 = -2-2.
z4 = 4 - 3.
Gambarkan titik-titik z1, z2, z3, dan z4 di bidang kompleks!

Jawab:
Kita buat koordinat x dan y, di mana z=x + y. 4 titik itu digambar sebagai berikut.

Contoh Soal 2:
Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y).
Jika z = , tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang kompleks!

Jawab:
Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan.. ^^
z =
z =
z =
z =
z =
Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y = .
Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:

Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud. ^^

Contoh Soal 3 (pemahaman):
Bisakah kamu memberi contoh bilangan yang bukan bilangan kompleks?

Jawab:
Bilangan yang bukan kompleks adalah bilangan yang mengandung bilangan yang tidak imajiner dan tidak real juga.. Misalnya , , dan masih banyak lagi.. Tapi, ini yang masih menjadi kendala.. Apakah , , dan sebagainya itu masih bisa disebut bilangan?? Sejauh saya belajar, tak pernah ada pembahasan mengenai bilangan nonkompleks...

Contoh Soal 4 (pemahaman):
Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y).
Tentukan nilai x dan y dari bilangan:
(i) 0
(ii)5
(iii)

Jawab:
(i) 0 = 0+ o. Jadi, x=0 dan y=0.
(ii) 5 = 5+0. Jadi, x=5 dan y=0.
(iii) = 0+ . Jadi, x=0 dan y=.

Contoh Soal 5:
Jika z1 = z2 = z3.
z1 = c + a.
z2 = b + 2c.
z3 = a+2 - d.
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!

Jawab:
Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + q dan r+s dikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s.

Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.. ^^

z1 = z2 = z3

c + a = b + 2c = a+2 - d.

c = b = a+2 ... (i)
a = 2c = -d ... (ii)

c= a+2
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)

Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + a = -2 -4.

=========================================================================

BAGIAN II

OPERASI BILANGAN KOMPLEKS

Di sini akan dijelaskan operasi bilangan kompleks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.. Langsung ke contoh soal.

Contoh Soal 6 (penjumlahan):
(3+2)+(-2+7) =....
Jawab:
(3+2)+(-2+7) = 3 + 2 -2 + 7 = 1 + 9.

Contoh Soal 7 (pengurangan):
(2-3)-(8-2)=....
Jawab:
Dikerjakan sama seperti penjumlahan..
(2-3)-(8-2) = 2 -3 -8 +2 = -6 -.

Contoh Soal 8 (perkalian):
(3+4)(2-5) = ....
Jawab:
Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.
(3+4)(2-5) = 6 -15 + 8 -20.
Lalu ubah menjadi 1.(3+4)(2-5) = 6 -15 + 8 +20 = 26 -7.

Contoh Soal 9 (pembagian):
= ....
Jawab:
Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (lihat langkah di bawah).
=
====-=
====-=
====-=
====-=

Contoh Soal 10 (pemangkatan Sederhana):
Jika z = 3-. Tentukan .
Jawab:
Hasil dari pemangkatan dapat diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, karena kita belum belajar hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa.
= (3-)(3-)(3-) = (9-6-1)(3-)=(8-6)(3-)=24-8-18-6=18-27.

=========================================================================
Note: bilangan kompleks jika digunakan di koordinat polar dapat menjadi sangat fleksibel dan *luar biasa*.. Di sini, akan muncul "Dalil Moivre" juga. Rumus-rumus euler dapat diturunkan dari definisi bilangan kompleks di koordinat polar.

Bilangan Kompleks... (ii) {Dalil De Moivre}

Posted by hendry_dext

Post ini adalah lanjutan dari posting mengenai Mengenal Bilangan Kompleks.. Sebetulnya, aku agak ragu dengan post ini. Pertama, ini adalah materi kuliah.. Pasti banyak dari kalian yang menganggap bahwa ini post yang "menyebalkan". Ada yang bilang bahwa "Matematika itu Sucks". Ada yang bilang bahwa "Matematika itu tidak penting"... Hmm.. Melalui bilangan kompleks kita bisa melihat *keistimewaan matematika* di materi ini. Persamaan euler adalah salah satu contoh hasil dari pengembangan bilangan kompleks.. Yach, bagi yang tidak mau melihat post ini, silakan ditinggalkan. Tapi, bagi yang penasaran akan *keajaiban matematika*, silakan dilanjutkan. ^^

Di sini akan dijelaskan mengenai Dalil De Moivre.. Tapi, alangkah baiknya kalau kita mengenal dulu konsep bilangan kompleks dalam polar.. ^^
=========================================================================

BAGIAN III

BILANGAN KOMPLEKS DALAM POLAR

Perhatikan post sebelumnya!!
z = x+y dapat digambarkan dalam bidang kompleks. Artinya, kita dapat menggambarkannya secara kartesius maupun polar!! Lihat gambar di bawah untuk lebih jelasnya!

Jika titik z digambarkan secara kartesius tentunya kita akan mengatakan bahwa titik itu berada di koordinat (x,y). Namun, jika berbicara di koordinat polar, kita akan mengatakan bahwa titik z berada di (r,), arah dengan panjang r. Di sini, adalah sudut yang dihitung dari sumbu x positif berputar berlawanan dengan arah jarum jam (tentunya ini materi SMA yang sebenarnya tidak perlu dijelaskan lagi).
disebut sebagai argumen z, sedangkan r disebut sebagai modulus (panjang) z.

Notasi:
mod.(z)= r
arg.(z) =

Kembali lihat gambar di atas.

Oleh karena itu,
z_= x+y
z_=
z_=
Disingkat menjadi
z =
Dapat dikatakan juga:

Lihat kembali gambar di atas, bilangan kompleks z = x+y secara geometris dapat dinyatakan cengan vektor posisi.!!

Operasi bilangan kompleks secara geometris dalam bentuk vektor dapat dilakukan sebagai berikut (z1 dan z2 diketahui):

menggambar z1+z2 -> (menggunakan metode jajargenjang biasa..^^)
menggambar z1-z2 -> Ingat bahwa: z1-z2 = z1+(-z1)
menggambar z1.z2 -> Perkalian ini sedikit tricky. Gunakan metode perbandingan. misalkan z = z1.z2 z1.z2 = z z1.z2 = z.1
menggambar z1:z2 -> Gunakan metode perbandingan (seperti waktu kita mengalikan z1.z2)

Catatan: penggambaran perkalian dan pembagian bilangan kompleks dengan vektor tak ada hubungannya dengan arah vektor... Di sini, yang dikaitkan (digunakan) adalah panjang vektor itu.. (Ingat: pada vektor ada pengertian dot dan cross product)..

=========================================================================

BAGIAN IV

DALIL DE MOIVRE

Dengan sistem polar mempermudah perkalian dan pembagian bilangan-bilangan kompleks.
Misalkan kita punya bilangan kompleks z1 dan z2 dimana:


Sekarang, kita akan mencoba mengalikan keduanya...


Lihatlah bagian yang bisa digabung.... Lalu, persamaan itu *secara ajaib* menjadi:

Disingkat menjadi:


Dengan sendirinya, .
Jika , maka kita akan menemukan dalil de Moivre:

n bilangan bulat..

Note: Bagaimana jika kita melakukan pembagian bilangan kompleks z1 dan z2? Maka, akan menghasilkan rumus: .. Cobalah sendiri.. ^^

Catatan: Perkalian-perpangkatan/pengambilan akar-pembagian bilangan-bilangan kompleks akan cepat dilakukan dengan menggunakan sistem polar, apabila argumen-argumen bilangan kompleks tersebut merupakan sudut-sudut kelipatan dari atau .

Contoh Soal 1:
.
Hitunglah .

Jawab:
Seandainya kita tidak mau menggunakan dalil de Moivre pun, kita bisa mengerjakan soal ini secara *tradisional*.. Yaitu dengan mengalikannya satu per satu.
= = =

Nah, bagaimana jika kita ingin mengerjakannnya secara dalil de Moivre? Akan lebih mengerti jika kita menggambar titik z itu.. (Ini supaya kita lebih mengerti saja.. Tapi, tidak mutlak)

r = =
----> (karena terletak di kuadran 4...)



= .
Hasilnya sama, bukan?

Contoh Soal 2:

Hitunglah .

Jawab:
Soal di atas dapat dikerjakan dengan mengalikan z sebanyak 7 kali.. Tapi, itu sangat buang-buang waktu.. Jadi, kita akan menggunakan dalil de Moivre..
Langkahnya sama seperti nomor 1. Hitung r dan , lalu tinggal masuk ke rumus. ^^

Jadi,



.

Contoh Soal 3:

Tentukan nilai z.

Jawab:
Masih ingatkan notasi ini: .
Hal ini juga berlaku untuk , maka persamaan di atas menjadi

Soal di atas dapat ditulis dalam bentuk: .

+ (di mana n =0,1,2,3,...)

Ingat Dalil De Moivre .. Jika n=3, maka:
---> ---> ---> .
---> ---> = --->
Oleh karena itu, kita sekarang sudah mendapatkan z.
z = = = .
Dengan mensubstitusikan nilai n=0,1,2, maka kita akan mendapatkan 3 nilai z.
= = = 2
= = =
= = =

=========================================================================
Selesai sudah bagian Dalil De Moivre, bilangan kompleks bagian kedua...!! XD
Mudah bukan?? Post ini adalah revisi kedua, setelah sebelumnya ada kesesatan menggunakan dalil De Moivre di mana nilai n-nya boleh pecahan (di contoh soal nomor 3 dan 4).. Ingat, dalil de Moivre hanya berfungsi jika n adalah bilangan bulat.. So, post ini aku rombak ulang agar tidak menggunakan cara yang menyesatkan (meskipun jawaban di post sebelumnya tidak salah, namun ini hanya di dalam kasus khusus yang demikian, dan tidak akan dibahas di sini.) ^^

Bukti: Persamaan euler. ^^

Posted by hendry_dext

Ini adalah materi lanjutan dari "Bilangan Kompleks...(ii) {Dalil De Moivre}"... Mohon dilihat kembali untuk lebih jelasnya.. ^^.. Dan ini mungkin bisa dikatakan sebagai materi yang rumit bagi kebanyakan mahasiswa di universitasku.. Namun sesungguhnya, kita tidak perlu menjadi profesor untuk membuktikan rumus *dewa* ini, karena bukti itu sekarang sudah jelas di depan mata, dan lagi *bukti ini cukup mudah diturunkan*!!

Sekali lagi, saya ingatkan.. Jangan kaget bahwa ternyata pembuktian rumus ini sangatlah mudah.. ^^

=========================================================================

PROOF

Bukti ini banyak makan tempat.. Oleh karena itu, saya menggunakan banyak singkatan atau permisalan:

Ingat konsep awal euler bahwa:

Dengan melihat konsep itu, cobalah untuk menguraikan bentuk .
= =

Ingat-ingat kembali.. z jika dinotasikan dalam polar adalah sebagai berikut.
z = [mod.(z)] . cis[arg(z)]
Lalu, ingatlah dalil De Moivre yang bunyinya berikut.

Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa:

Kita tulis ulang dalam bentuk x dan y, maka menjadi:

Lanjuutt. Tadi, kita sudah sampai sini...
=
Kita beri notasi mod. untuk kedua ruas.
= = =
Kita dapatkan persamaan berikut:
= <----- diambil dari ruas paling kiri dan kanan. Lalu, kita buat n mendekati tak hingga (agar bisa sesuai dengan konsep awal, konsep euler).

====

Oleh karena itu:
= <----- diambil dari ruas paling kiri dan kanan. Jika ditulis ulang menjadi:

Ingat-ingat kembali.. z jika dinotasikan dalam polar adalah sebagai berikut.
z = [mod.(z)] . cis[arg(z)]
Lalu, ingatlah dalil De Moivre yang bunyinya berikut.

Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa:

Kita tulis ulang dalam bentuk x dan y, maka menjadi:

Nah, kita kembali ke persamaan awal, yaitu persamaan di bawah:
=
Kita beri notasi arg. untuk kedua ruas.
= =
Kita dapatkan persamaan berikut:
= <---------- diambil dari ruas paling kiri dan kanan.. Dekati n hingga tak terhingga (agar sesuai dengan konsep awal, konsep euler). = = =
Oleh karena itu:
= <----- diambil ruas yang paling kiri dan kanan. Jika ditulis ulang menjadi:

Kita sudah mendapatkan dan . Selanjutnya, kita kembali ke konsep awal.

Substitusikan dan , maka menjadi:

Terbukti

=========================================================================

KEADAAN KHUSUS

Jika x=0, maka persamaan eulernya menjadi:

Seandainya y positif, maka: ... (i)
Seandainya y negatif, maka: ... (ii)
Lalu, kita lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan pada kedua persamaan:

Dari eliminasi tersebut menghasilkan 2 identitas berikut:
*)
*)
=========================================================================
Ternyata, pembuktian persamaan euler ini cukup mudah.. Hanya memakai konsep limit saja sudah cukup. Tidak perlu mengunakan pengintegralan dan sebagainya...

Dasar Teorema Binomial

Posted by hendry_dext

Apa itu teorema binomial? Lalu, jika kalian sudah tahu, bisakah kalian mengerjakan soal-soal di bawah ini?

1. Ekspansikan
2. Berapakah suku keenam dari ekspansi
3. Berapakah suku yang mengandung dari ekspansi
4. Berapakah koefisien suku dari ekspansi

Bahasan mengenai teorema binomial di sini tidaklah sulit. Saya sendiri hanya tahu dasarnya saja.
Nah, karena kita saling belajar, makanya kalo ada yang ingin sharing silakan... ^^
Baca lanjutannya di bawah.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Preface
Segitiga Pascal dan Kombinasi

Sebetulnya, dapat ditemukan dari perkalian secara langsung. Dengan mudah, kita bisa mengekspansikan , , dan selanjutnya seperti di bawah karena pangkatnya cukup kecil.
=
=
= =
= =

Perhatikan pola dari suku-suku . Pasti selalu dimulai dari suku . (Ini sebetulnya merupakan perjanjian saja). Lalu, suku berikutnya, pangkat dari a akan berkurang 1, namun pangkat dari b akan naik sebesar 1. Jadi, dapat dideskripsikan sebagai berikut.

= .+ . + . + ... + . + ..

Lalu, untuk menentukan koefisien (c) tiap suku kita dapat menggunakan segitiga Pascal.
_____________________1
__________________1______1_____________==> koefisien untuk
_______________1_____2______1__________==> koefisien untuk
_____________1____3_____3______1________==> koefisien untuk
___________1___4_____6______4____1______==> koefisien untuk _________1___5____10____10_____5____1___==> koefisien untuk
______1____6___15____20_____15____6___1_ ==> koefisien untuk
Namun, cara di atas hanya dipakai untuk pangkat yang kecil (sedikit). Sulit untuk menjabarkan segitiga Pascal untuk baris yang sangat banyak (untuk pangkat yang besar). Jadi, kita gunakan kombinasi. Cara untuk mengekspansikan dengan kombinasi inilah yang disebut teorema binomial.

Hubungan kombinasi dengan teorema binomial
Perhatikan ilustrasi berikut. Dalam aljabar, kita tahu bahwa

= .

Penjabaran dari merupakan perkalian dari 3 faktor.

=

Lalu, kita pilih bagian yang ingin kita kalikan dari ketiga faktor itu. Misalnya, jika kita memilih a dari setiap faktor dan mengalikannya, maka kita peroleh aaa. Jika kita memilih a dari faktor pertama, a dari faktor kedua dan b dari faktor ketiga kemudian mengalikannya, maka kita peroleh aab, dan seterusnya. Sehingga semua kemungkinan pemilihan baik a maupun b dari masing-masing faktor adalah

aaa; aab; aba; abb; baa; bab; bba; bbb

Jika dikalikan menjadi:

; ; ; ;; ; ;

Jika semua suku-suku diatas dijumlahkan, maka hasilnya adalah

Bilangan 3 yang merupakan koefisien dari muncul dari pemilihan a dari 2 faktor dan b dari 1 faktor sisanya. Hal ini bisa dilakukan dalam atau cara. Cara yang sama bisa dilakukan untuk memperoleh koefisien yang dalam hal ini merupakan pemilihan a dari 0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat dilakukan dalam atau cara, dan seterusnya.

Melalui hubungan kombinasi dengan teorema binomial, maka kita dapat merumuskan ulang rumus teorema binomial sebagai berikut:

=

atau

=

Kedua rumus di atas identik. Hanya beda penulisan simbol C saja. ^^

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Bagian II
Latihan

Mungkin ini adalah bagian yang ditunggu-tunggu.. Kalau tidak latihan, tidak mungkin jago. Betul? ^^

1.	Ekspansikan Jawab: Jika memakai cara rumit, bisa saja kita menghitung dengan cara mengalikan sebanyak 6 kali. Tapi, karena rumit, kita gunakan teorema binomial. = . + . + . + . + . + . + . Ingat bahwa: = . + . + . + . + . + . + . ______= + 6 + 15. + 20. + 15. + 6. + Perhatikan sifat-sfat yang timbul dari penjabaran tersebut: 1. Banyaknya suku adalah (n+1) = 6+1 = 7. 2. Jumlah dari eksponen a dan b dalam setiap suku adalah n.
2.	Ekspansikan Jawab: Tidak berbeda jauh dengan soal sebelumnya. Jika memakai simbol , anggap a = , b = , dan n=5. = .+ . .+ ..+ ..+ ..+ ______ = + 5.2.+ 10.4.+ 10.8.+ 5.16.+ 32 ______ = + 10+ 40+ 80+ 80+ 32
3.	Ekspansikan Jawab: Soal di atas, tak jauh berbeda dengan soal nomor 2... <==males bikin soal. Jika memakai simbol , anggap a = , b = , dan n=5. =+++++ ______ = 5.2.+ 10.4. 10.8.+ 5.16. 32 ______ = 10+ 40 80+ 80 32 Perhatikan jawaban di atas. Ternyata menghasilkan suku-suku ganjil dan genap secara berseling.
4.	Berapakah suku keenam dari ekspansi Jawab: Suku keenamnya = Suku keenamnya = Suku keenamnya = 3.7.6. Suku keenamnya =
5.	Berapakah suku ke-4 dari ekspansi Jawab: Suku ke-4= Suku ke-4= Suku ke-4= Suku ke-4=
6.	Berapakah suku ke-7 dari ekspansi Jawab: Karena pangkatnya 5, maka jumlah sukunya hanya ada = 5+1 = 6. Jadi, tidak memiliki suku ke-7.
7.	Berapakah suku yang mengandung dari ekspansi Jawab: Ini hanya soal jebakan. Pangkat terkecil hasil penjabaran adalah . Jadi, ekspansi tidak memiliki suku yang mengandung .
8.	Berapakah koefisien suku yang mengandung dari ekspansi Jawab: Kombinasi yang mungkin untuk adalah: = dimana p+q = 10 Note: Di atas, koefisien tidak berpengaruh dalam pembentukan . Jadi dapat dihilangkan.. (i)... p + 3q = 14 dimana p+q = 10 ...(ii) Dari 2 persamaan tersebut, gunakan eliminasi/substitusi biasa, sehingga didapat q = 2 dan p = 8 Karena q=2, maka dari sini kita tahu bahwa suku yang dicari adalah suku ke(2+1)=3. Kita memilih q (bukan p) karena q merupakan eksponen b dari yang langsung menunjuk ke suku mana penjabaran itu didapat. Suku ke-3= Suku ke-3= .4. Suku ke-3= 180 Berarti koefisien suku yang mengandung dari ekspansi = 180.
9.	Berapakah koefisien suku yang mengandung dalam ekspansi Jawab: (Soal ini hanya untuk memperjelas soal di sebelumnya saja) terbentuk dari kombinasi antara dan . = dimana p+q =14 = dimana p+q =14 (i)... p + 2q = 4 dimana p+q =14 ...(ii) Setelah kedua persamaan disubstutusi/ di eliminasi, maka didapat p = 8 dan q=6 q menunjuk (elemen kedua dalam ). q = 6. Berarti, kita harus mencari suku ke-(6+1) = 7 Suku ke-7 = Suku ke-7 = Suku ke-7 =
10.	Tentukan koefisien dari dalam ekspansi Jawab: Asumsikan kejadian ini sebagai 3 aktivitas. Pertama memilih a dari 2 faktor diantara 11 faktor yang bisa dilakukan dalam cara. Kedua, memilih b dari 3 faktor diantara 9 faktor yang bisa dilakukan dalam cara. Ketiga, memilih c dari 6 faktor diantara 6 faktor sisanya yang bisa dilakukan dalam cara. Jadi, jika semuanya dikalikan, maka koefisien untuk didapat. Koefisien untuk = = 4620
11.	Berapakah koefisien suku dari ekspansi Jawab: Seperti soal sebelumnya, namun di sini hanya ada 1 variabel, yaitu x. Artinya, akan ada banyak kemungkinan yang timbul. Logika memecahkan soal ini mirip seperti soal nomor 8 atau 9. Pertama, kita temukan terlebih dahulu kombinasi yang mungkin untuk membentuk . Kombinasi yang mungkin untuk membentuk : = k. dimana Di sini, nilai p dapat ditentukan paling akhir (karena 1^p = 1). Maka, kedua persamaan sekarang menjadi: (i)... 5q + 9r = 23 dimana ... (ii) Karena nilai q dan harus bulat positif, kita dapat dengan mudah menyelesaikan persamaan 5q + 9r = 23 dengan menggunakan cara persamaan linear diophantine atau cara coba-coba. Setelah dikerjakan dengan cara coba-coba, maka didapat hasilnya q = 1 dan r = 2. Maka, p = 100-2-1 = 97. 5 x 1 + 9 x 2 = 23 Maka, suku yg mengandung = _______________________= _______________________= 49 Jadi, koefisiennya adalah 49.
12.	Tentukan koefisien suku yang mengandung dalam ekspansi Jawab: Cara mengerjakan soal ini sama seperti sebelumnya. Pertama, tentukan terlebih dahulu kombinasi yang mungkin untuk . = di mana p+q+r = 15 -p + q + 2r = 5 di mana p+q+r = 15 Ada 2 persamaan yang diperoleh: 2r + q - p = 5 ... (i) p+q+r = 15 ... (ii) Kita harus berusaha mendapatkan pasangan p,q,dan r yang memenuhi kedua kendala itu. Bisa dengan menggunakan persamaan linear diophantine atau coba-coba. Di sini, kita gunakan cara coba-coba. Pertama, ubah persamaan (ii) menjadi p = 15-q-r lalu substitusikan ke persamaan (i) 2r + q - (15-q-r) = 5 3r + 2q = 20 Karena nilai r dan q harus positif, maka . Lalu, perhatikan bahwa 2q dan 20 adalah bilangan genap, maka 3r juga haruslah genap. Jadi, kita sekarang mendapatkan 4 kemungkinan r, yaitu 0, 2, 4, dan 6. Jika r = 0 ==> q = 10 ==> p=5 Jika r = 2 ==> q = 7 ==> p=6Jika r = 4 ==> q = 4 ==> p=7Jika r = 6 ==> q = 1 ==> p=8 Jadi, jumlah suku yang mengandung = + + + = (3003 + 180180 + 450450 + 5014 ) = 638647 Jadi, koefisiennya adalah 638647.. (Maap angkanya jelek)
13.	Tentukan nilai dari Jawab: Ingat teorema binomial bahwa: = Jika kita mensubstitusikan a =1 dan b =1, maka hasilnya menjadi berikut: = = Jika kita mensubstitusikan n=2009, maka jawaban dari soal akan diperoleh. =
14.	Jika A = banyaknya suku dari ekspansi B = banyaknya suku dari ekspansi Maka, berapakah selisih A dan B? Jawab: Banyaknya suku dari ekspansi adalah . Di rumus di atas, n adalah pangkat, sedangkan v adalah jumlah variabel. == Di sini, tidak akan dijelaskan penurunan rumusnya. Alasannya, karena saya sendiri baru dapet rumus itu secara tidak sengaja pas ngerjain soal beginian.. Tapi, aku yakin, rumus ini sudah ditemukan dari dulu-dulu.. Ada yang bisa menurunkannya? == memiliki v = 4 dan n=6, maka A = = 84. memiliki v=5 dan n=4, maka B = = 70. Maka, A - B = 84 - 70 = 14. Artinya, memiliki suku lebih banyak daripada .

http://wapedia.mobi/id/Special:Search?search=bilangan+kompleks&skl=Tuju+ke&searchtype=

http://hendrydext.blogspot.com/2008/12/bilangan-kompleks-ii-dalil-de-moivre.html